Pochodził ze sławnego rodu, którego najstarszym znanym przedstawicielem był Buonviso di Corrado, doradca cesarza Ottona III. W XII wieku ród Buonvisich stał się w Lukce potężną dynastią bankiersko-kupiecką. Najsłynniejszym z trzech kardynałów wywodzących się z tego rodu był właśnie Francesco Buonvisi.
Urodził się 16 maja 1626 roku w Lukce. Zdobył tytuł doktora obojga praw na uniwersytecie La Sapienza w Rzymie, następnie pełnił rozmaite urzędy w kurii rzymskiej. W roku 1670 został tytularnym biskupem Tesaloniki, a w roku 1672 papież wysłał go do Polski jako specjalnego nuncjusza. W roku 1675 został nuncjuszem papieskim w Austrii. Przeżył oblężenie Wiednia uczestnicząc w obronie austriackiej stolicy. W czasie wojny z Turkami dowiódł, że jest nie tylko świetnym dyplomatą, ale również utalentowanym strategiem, a jego rady były cenione przez wojskowych. Innocenty XI na konsystorzu w roku 1681 wyniósł go godności kardynała prezbitera kościoła San Stefano w Rzymie. W roku 1690 przeniesiony został do Lukki z tytułem arcybiskupa. Zmarł 25 sierpnia 1700 roku.
Pamiętnikarze i zbieracze anegdot z tego okresu zapamiętali go jako człowieka bardzo dumnego i wyniosłego. Istnieje legenda głosząca, że kardynał Buonvisi założył się kiedyś z Ludwikiem XIV, twierdząc, iż stajnie w jego rodowej posiadłości Villa Oliva położonej 6 km od Lukki są piękniejsze od komnat nowo wybudowanego pałacu wersalskiego. Zaciekawiony monarcha wysłał na oględziny swojego ambasadora, który musiał przyznać rację Buonvisiemu. O tej wyniosłości kardynała wspomina również Philippe Dupont, który stwierdza, że nigdy nie zdobył on sobie takiej sympatii Polaków jak Ranuzzi. Według pamiętnikarza papież Klemens X, zaniepokojony konfliktem między hetmanem Sobieskim a konfederatami gołąbskimi, polecił Buonvisiemu ułagodzić hetmana. Magnaci, którym wyrok sądu kazał pojednać się z Sobieskim, wyrażając skruchę, chcieli uniknąć nadmiernego upokorzenia. W tym celu ich rodziny zwróciły się do kardynała Buonvisiego z prośbą, by uzyskał od Sobieskiego zgodę na przyjęcie konfederatów prywatnie, tak aby zadośćuczynienie odbyło się w cztery oczy. Jak twierdzi Dupont: "Ambasador kurii udał się więc do pałacu Sobieskiego, ale zamiast użyć argumentów stosownych do prośby, z jaką się zwracał, oraz do łaski, o którą miał zamiar błagać, mówił tonem, który bardzo się nie spodobał hetmanowi wielkiemu. Odpowiedział mu więc z dumą, że gdyby nie pośrednictwo Buonvisiego, obaj magnaci uzyskaliby to, o co tak usilnie prosili. Ale skoro przysłali mu tak nieopanowanego posłańca, żąda, by zadośćuczynienie zostało spełnione w całości. A jeśli z tego powodu odczuwają zmieszanie i przykrość, niech wiedzą, że zawdzięczają to tylko Buonvisiemu".